放大器的級間穩定

做多級的RF的放大器時，除了看一般的stability factor K值外，還需要去測試電路每級放大器的級間穩定。
實驗室一直遵照學長流傳下來的投影片：將電路從中切開，一邊看stability circle，另一邊看ADS裡面的「Map1 circle」跟「Map2 circle」這個東西，然後看看兩個圓有沒有相交在一起，可是這個Map 1/2 circle是啥鬼東西？極間穩定又是什麼？

1. 極間穩定的意義：

先考慮上圖的模型，在一個主動的電晶體兩旁接上matching的電路，stability circle的定義是，在什麼樣的$\Gamma_L$(or $\Gamma_S$)下，會讓$\Gamma_{in}$(out) >1，在$\Gamma_{in}$(out) > 1時，電路幾乎確定會不穩定，將$\Gamma_{in}$(out)=1的邊線畫出來的圓，就是穩定圓(stability circle)。
電路設計完後，一定會看看stability factor K是否全頻帶都大於1，就是要確認電路整體的$\Gamma_{in}$(out)都在穩定的範圍內。
可是若我們把電路切開，這個模型就不適用了，前後接的不是被動的matching電路，這時候我們就要確保，前端的load stability circle，和向後端可能看到任何一點阻抗，都不會相交；否則很不巧的該阻抗出現，電路就不穩定了；這就是極間穩定背後的原理。

所以說map1/2 circle是啥鬼？從上面的定義來看，我認為它所畫的是：當source(load)呈現任何被動阻抗時（也就是實部小於一，落在smith chart上的任何阻抗），會在另一邊load(source)上呈現的阻抗。
實際用複數變換來驗證看看：
$\Gamma_{in} = w = \frac{a \Gamma_L+b}{c\Gamma_L+d}$
改換上式為下式，兩行的abcd並不是相同的：
$\Gamma_L = \frac{a \Gamma_{in}+b}{c \Gamma_{in}+d}$
a=1, b= $-S_{11}$, c= $S_{22}$, d= $-\Delta$
其中 $\Delta = S_{11}S_{22}-S_{12}S_{21}$
這個 $|\Gamma_L|=1$經轉換後會畫出一個圓，其圓心和半徑為：
$C_L = \frac{c^*d-a^*b}{a^2-c^2} = \frac{-S_{11}|S_{22}^2|+S_{12}S_{21}S_{22}^*+S_{11}}{1-|S22|^2} = S_{11}+\frac{S_{12}S_{21}S_{22}^*}{1-|S22|^2}$
$r = \frac{ad-bc}{a^2-c^2} = |\frac{S_{12}S_{21}}{1-|S22|^2}|$
若兩圓相交，就表示有load會讓$\Gamma_L$呈現某阻抗，而該阻抗會落在不穩定圓中，也就使電路在這級不穩定(新細明體：你死了Q_Q)

2. 實際資料：

Linux有問題先查manpage，ADS遇到鬼先問F1 help，結果help裡面解釋是這麼寫的：

Used in Small-signal S-parameter simulations: The function maps the set of terminations with unity magnitude at port 1 to port 2. The circles are defined by the loci of terminations on one port as seen at the other port. A source-mapping circle is created for each value of the swept variable(s). This measurement is supported for 2-port networks only.

大概的意思是一樣的，依著help的註解找到了計算的ael原始碼，下面是map2的原始碼：

defun map2_center_and_radius(sParam, center, radius)
{
    decl S12xS21 = sParam(1,2)*sParam(2,1);
    decl s11MagSq = pow(abs(sParam(1,1)),2);
     *center = sParam(2,2)+S12xS21*conj(sParam(1,1))/(1-s11MagSq);
     *radius = abs(S12xS21)/(1-s11MagSq);
}

可見所做的是以$S_{11}+\frac{S_{12}S_{21}S_{22}^*}{1-|S22|^2}$為圓心，$|\frac{S_{12}S_{21}}{1-|S22|^2}|$為半徑的圓，和我們所計算的結果相符。

附件：

如何在blogger裡面插入方程式？目前找到兩種解決方案
第一種是用這篇文章中所建議的方式：
http://www.codecogs.com/latex/integration/blogger/install.php
照著裡面的步驟做即可，不過它是將LaTeX轉成圖片，再替換掉原本的文字，所以很醜...
而且測試發現Firefox會當掉（媽的連IE都可以了…），原因不明。
第二種是現在的作法：
方法同上，但code是在下面這個blog裡面找到的
http://aishuxue.blogspot.tw/2012/01/latex-blogspot.html

<script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js" type="text/javascript">
MathJax.Hub.Config({
 extensions: ["tex2jax.js","TeX/AMSmath.js","TeX/AMSsymbols.js"],
 jax: ["input/TeX", "output/HTML-CSS"],
 tex2jax: {
     inlineMath: [ ['$','$'], ["\\(","\\)"] ],
     displayMath: [ ['$$','$$'], ["\\[","\\]"] ],
 },
 "HTML-CSS": { availableFonts: ["TeX"] }
});
</script>

這個結果超漂亮的啊！！！，實在太強了！
在chrome跟firefox裡面都可以用，IE我倒不知道，反正懶得理他。

致謝：

本篇文章感謝503實驗室強者我同學曾奕恩，以及強者我學長陳柏翰學長在複數變換方面的指導。