Cryptography 1：密碼學裡的隨機

小弟最近消失了好一段時間，都沒在更新文章，其實小弟是掉到陰間去了，在陰間時間變很少，都不寫code（也沒電腦Orz），也不再看相關的東西，例如rust 的文件了，因為我知道一年後出來，rust-lang 搞不好都翻了兩翻，而且看了也不能直接練習，看了等於白看。
最近把時間花在一些比較不會變的東西，像是計算理論、密碼學、數學等等的東西，請我的好友強強林寄列印的書給我，利用放島休的時間聽coursera 上stanford 的cryptography，就算在陰間還是要定期充電，不然出來都變白痴了（雖然說本來就非常弱）。

下面這是聽密碼，關於其中隨機這件事的一些體悟：

密碼學的重點，其實就在「燙」…啊不對，是在「隨機」(random) 兩字，普通的訊息加密變成隨機，讓竊聽者猜不出訊息的內容，才能達成密碼學最重要的目的。
在密碼學裡很常看到xor，就是因為xor 的特性：當你把任何東西X跟隨機的訊息Y xor 起來，出來的東西的機率分佈會跟Y 一樣隨機，因此只要準備一個夠好的Y夠隨機，一個xor 就能把X 給加密好，所以問題就出在Y到底夠不夠隨機上。
當然我們可以用硬體雜訊產生器之類的東西，製造一個真隨機的來源當作密碼，但這在密碼學上不實用，如果是真隨機，表示加、解密雙方無法重現這個密碼，就無法加、解密啦；因此我們需要pseudorandom(偽隨機)，用有規則、可重現的方式製造一個很像隨機的東西。

無論是pseudorandom generator/function/permutation，都是設法設計一個夠亂的變法，並讓它們儘可能像random，並讓攻擊者在有限的運算資源限制下，分不出兩者的差異。但總歸來說，兩者還是不同的，以pseudorandom generator 為例，我們會設計很多統計上的測試，像是 0, 1 的數量不能差太多；不能有太長的0序列……讓這些測試無法分出兩者的差異。

千萬不要小看隨機這件事，小小的不隨機，都能讓攻擊者找出一絲絲突破的空間，例如Caesar cipher 隨機性不夠，用頻率攻擊法可以快速破解；enigma 只因為輸入跟輸出不會是同一個字，也能利用這點，配合電子計算機在幾十分鐘內破解；課程中有個例子是DES 有一個問題，可以用線性運算找到一個發生率小於1/2^21 不隨機事件，利用這點，就足以大幅削弱DES 的安全性，也就是說，我們發現這個pseudo-random不是真random，用這個運算預測pseudorandom下一個輸出時，可以比瞎猜好1/2^21。

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至於random跟pseudorandom是不是一樣呢？

理論上，如果給定無限多組的統計檢定，終究可以驗出真隨機和偽隨機的差異，但同樣的在"有限的運算資源"限制下，能進行的終究只有有限組統計檢定（這個教授倒是有提到，如果P=NP的話，我們就可以……），也就是因為"有限的運算資源"限制，保護了現行的加密系統不被輕易破解。

以真實例子來看，我們可以斷言，pseudorandom不會出現全0這樣罕見的序列，但這樣的序列在random 的狀況是確確實實會發生的，所以pseudorandom 和random 真的有差，但這差異的發生率之小，除非我們能窮盡所有檢查，才能檢出這種差異。
我們在做的事情，就像往霧裡一指，說：來，這是random的產出，然後我們放出另一團pseudorandom 霧，自問：你覺得你這團pseudorandom霧和這random霧像不像？有限的檢查下，我們可能只能驗一下外觀，兩個當然一樣；但給我無限的檢查，會發現random霧裡有幾顆是硫酸、幾顆是氫氧化鈉，他們和你的霧當然不一樣，但把兩團霧混在一起，其實這根本就沒差。