2012年10月5日 星期五

傳輸線穩態解與暫態解



這幾天在讀電磁學,發現一個自己沒想過,卻滿基本的問題:
我們先拿一個最芭樂的傳輸線模型,如下所示:
現在假設Vg=1VZs = 50ΩZ0=50ΩZL=25Ω,線長λ/4(懶…選個簡單一點的數字)
請問從傳輸線入射的功率為?

解法一:
Zs和傳輸線的交點分壓
P = ½ * ( 1 * 50/(50+50) )^2 / 50 = 2.5mW
解法二:
25Ω經過傳輸線得到Zin = 100Ω,與Zs=50Ω分壓去解,得到2.222mW

問題:為什麼兩個答案是不一樣的?

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答案:
兩個解法其實是在不同的條件下去解的。
在第一個解法時,我們看的是輸入的電壓在遇到兩個不同的介面時,電壓的分佈狀況。
第二個解法時,我們是把整個傳輸線和load,等效成一個電阻,去計算功率的分配。
不一樣在哪?
在解法二裡面,我們省略了傳輸線用電阻等效時,已經把電磁波經過不同介面的反射穿透都考慮進去,看看多少的功率被傳到傳輸線和load端(因為傳輸線為無損耗,所以就是在算load消耗的功率);但在解法一,我們只考慮了瞬時的功率分配,後面的效應還沒有考慮。

我們可以把解法一繼續解下去。
V=1/2, ΓL = -1/3,在輸入端無反紙,功率消耗在Zs上,反射功率為(1/6)^2 /2/50 = 0.278mW
所以Vg從傳輸線打入2.5mW,反射回來0.278mW,在傳輸線(或load)上消耗的功率為:
2.5-0.278 = 2.22mW
解法二實際上是在解整個電路的穩態解,解法一只是電路打開一瞬間,在Zs和傳輸線上的暫態。

所以說,哪個是真的?
在現今的電路模擬中多是利用頻域模擬,將一塊電路變成某個S參數、Z參數…的陣列,所做就是將電路的延遲效應給排除,只看電路在穩態下的特性,也就是解法二所做的事情。
但課本中的圖形,有正反向電壓波反彈反彈直到穩態解的,就需要第一種解法才能表示。

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第二個是同樣概念的問題:
同樣是上面那張圖,現在Zs=50Ω, Z0=25Ω, ZL=50Ω,線長λ/4(懶…一樣選個簡單一點的數字)
input端的反射係數:
解法一:先算ΓL=1/3經過λ/4線後,Γin=-1/3
解法二:Zin = 25^2/50 = 12.5,得到Γin = (12.5-50)/(12.5+50) = -3/5
問題:為什麼兩個結果不一樣,哪一個是真的?

同樣,第一個解法只是考慮在load端的一個暫態下,每個入射的電壓波會有多少反射;但我問到Γin時,就是要把整個電路等效成一個阻抗,然後看看入射的電壓波有多少會反射。
這時,因為ZsZ0的不匹配,從ZL看到的阻抗其實不是25Ω,而是12.5Ω,算到Γ=3/5,再經過了λ/4的傳輸線,可得到輸入處的反射係數為-3/5

結論:
一般微波電路在討論時,是針對穩態解的參數如Z, S matrix下去討論的,這樣的結果和只討論暫態的結果當然不一樣,計算時要稍微注意。

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