傳輸線穩態解與暫態解

這幾天在讀電磁學，發現一個自己沒想過，卻滿基本的問題：

我們先拿一個最芭樂的傳輸線模型，如下所示：

現在假設Vg=1V，Zs = 50Ω，Z0=50Ω，ZL=25Ω，線長λ/4（懶…選個簡單一點的數字）

請問從傳輸線入射的功率為？

解法一：

在Zs和傳輸線的交點分壓

P = ½ * ( 1 * 50/(50+50) )^2 / 50 = 2.5mW

解法二：

25Ω經過傳輸線得到Zin = 100Ω，與Zs=50Ω分壓去解，得到2.222mW

問題：為什麼兩個答案是不一樣的？

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答案：

兩個解法其實是在不同的條件下去解的。

在第一個解法時，我們看的是輸入的電壓在遇到兩個不同的介面時，電壓的分佈狀況。

第二個解法時，我們是把整個傳輸線和load，等效成一個電阻，去計算功率的分配。

不一樣在哪？

在解法二裡面，我們省略了傳輸線用電阻等效時，已經把電磁波經過不同介面的反射穿透都考慮進去，看看多少的功率被傳到傳輸線和load端（因為傳輸線為無損耗，所以就是在算load消耗的功率）；但在解法一，我們只考慮了瞬時的功率分配，後面的效應還沒有考慮。

我們可以把解法一繼續解下去。

V=1/2, ΓL = -1/3，在輸入端無反紙，功率消耗在Zs上，反射功率為(1/6)^2 /2/50 = 0.278mW

所以Vg從傳輸線打入2.5mW，反射回來0.278mW，在傳輸線（或load）上消耗的功率為：

2.5-0.278 = 2.22mW

解法二實際上是在解整個電路的穩態解，解法一只是電路打開一瞬間，在Zs和傳輸線上的暫態。

所以說，哪個是真的？

在現今的電路模擬中多是利用頻域模擬，將一塊電路變成某個S參數、Z參數…的陣列，所做就是將電路的延遲效應給排除，只看電路在穩態下的特性，也就是解法二所做的事情。

但課本中的圖形，有正反向電壓波反彈反彈直到穩態解的，就需要第一種解法才能表示。

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第二個是同樣概念的問題：

同樣是上面那張圖，現在Zs=50Ω, Z0=25Ω, ZL=50Ω，線長λ/4（懶…一樣選個簡單一點的數字）

求input端的反射係數：

解法一：先算ΓL=1/3經過λ/4線後，Γin=-1/3

解法二：Zin = 25^2/50 = 12.5，得到Γin = (12.5-50)/(12.5+50) = -3/5

問題：為什麼兩個結果不一樣，哪一個是真的？

同樣，第一個解法只是考慮在load端的一個暫態下，每個入射的電壓波會有多少反射；但我問到Γin時，就是要把整個電路等效成一個阻抗，然後看看入射的電壓波有多少會反射。

這時，因為Zs和Z0的不匹配，從ZL看到的阻抗其實不是25Ω，而是12.5Ω，算到Γ=3/5，再經過了λ/4的傳輸線，可得到輸入處的反射係數為-3/5。

結論：

一般微波電路在討論時，是針對穩態解的參數如Z, S matrix下去討論的，這樣的結果和只討論暫態的結果當然不一樣，計算時要稍微注意。